Геометрия Лобачевского это одна из двух неевклидовых геометрий. Её аксиомы такие же, за исключением печально известного  5 постулата Евклида.

Аксиома:

• Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной прямой, лежащей с данной прямой в одной плоскости и не пересекающей её. 

заменяется на:

• Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её,

что полностью перечеркивает практически все правила нормальной или евклидовой геометрии.

Как же возникла такая с первого взгляда нелепая модель геометрии? Дело в том что 5 постулат не может быть доказан на основе других посылок евклидовой геометрии, и что допущение постулата, противоположного 5 постулату Евклида, позволяет построить геометрию столь же содержательную, как и евклидова, и свободную от противоречий. Первым математиком который предложил такую геометрию как возможную и полезную теорию был Лобачевский, в честь которого её и назвали.

Примером такой геометрии является псевдосфера:

А так выглядит плоскость замощённая правильными треугольниками: