The post Логарифм, як “продовжувач життя обчислювачам” appeared first on Приватна школа Київ | Афіни.

История парадокса

Игра в кости была самой популярной азартной игрой до конца средних веков. Само слово «азарт» также относится к игре в кости, так как оно происходит от арабского слова «alzar», переводимого как «игральная кость». Карточные игры стали популярны в Европе лишь в XIV веке, в то время как игра в кости пользовалась успехом еще в Древнем Египте во времена 1-й династии и позднее в Греции, а также в Римской империи.

Самой ранней книгой по теории вероятностей является «Книга об игре в кости» («De Ludo Aleae») Джероламо Кардано (1501—1576 гг.), которая в основном посвящена игре в кости. Эта небольшая книжка была опубликована лишь в 1663 г., спустя почти 100 лет как была написана. Видимо, поэтому Галилей стал заниматься той же самой задачей о костях, хотя она была уже решена в работе Кардано. Галилей также написал трактат на эту тему где-то между 1613 и 1624 гг. Первоначально он назывался «Об открытиях, совершенных при игре в кости» («Sopra le Scoperte dei Dadi»), но в собрании сочинений Галилея, изданном в 1718 г., название изменили на следующее: «О выходе очков при игре в кости» («Consideratione sopra il Giuoco dei Dadi»).

Парадокс

Правильная игральная кость при бросании с равными шансами падает на любую из граней 1, 2, 3, 4, 5 или 6. В случае бросания двух костей сумма выпавших чисел заключена между 2 и 12. Как 9, так и 10 из чисел 1, 2, …, 6 можно получить двумя разными способами: 9 = 3 + 6 = 4 + 5 и 10 = 4 + 6 = 5 + 5. В задаче с тремя костями и 9, и 10 получаются шестью способами. Почему тогда 9 появляется чаще, когда бросают две кости, а 10, когда бросают три?

Объяснение парадокса

Задача настолько проста, что кажется странным, что в свое время ее считали страшно трудной. И Кардано, и Галилей отмечали необходимость учета порядка выпадания чисел. (В противном случае не все исходы были бы равновозможными.) В случае двух костей 9 и 10 могут получаться следующим обра­зом: 9 = 3 + 6 = 6 + 3 = 4 + 5 = 5 + 4 и 10 = 4 + 6 = 6 + 4 = 5 + 5. Это означает, что в задаче с двумя костями 9 можно «выбросить» четырьмя способами, а 10 — лишь тремя. Следовательно, шансы получить 9 предпочтительней. Поскольку две кости дают 6 x 6 = 36 различных равновозможных пар чисел, шансы получить 9 равны 4/36, а для 10 — лишь 3/36. В случае трех костей ситуация меняется на противоположную: 9 можно «выбросить» 25 способами, а 10 — уже 26 способами. Так что 10 более вероятно, чем 9.

Источник: http://mathworld.ru/paradoks-igri-v-kosti

The post Парадокс игры в кости appeared first on Приватна школа Київ | Афіни.

Интеграл

Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Есть несколько типов интеграла: определённый и неопределённый интеграл, интеграл Римана и Римана—Стилтьеса, интеграл Лебега и Лебега—Стилтьеса, интеграл Даниэля.

Все эти типы отличаются лишь  в технических деталях и  все они совместимы, то есть любые два способа интегрирования, если их можно применить к данной функции, дадут один и тот же результат.

Но как найти интеграл с неопределенной верхней границей?

Для этого мы используем дифференцирование по параметру.

Пусть задан интеграл вида

В таком случае, производная по параметру t будет равна

Обозначение

Современное обозначение неопределённого интеграла было введено Лейбницем в 1675 году. Он образовал интегральный символ из буквы S («длинная s») – сокращения латинского слова summa.

Современное обозначение определённого интеграла, с указанием пределов интегрирования, были впервые предложены Жаном Батистом Жозефом Фурье в 1819-20 годах.

Подготовила Лилия Атамась

The post Интеграл appeared first on Приватна школа Київ | Афіни.

Например, нужно умножить 26 на 47.

1. Записываем 26 и 47.

2. Теперь левое число делим на 2, а правое умножаем на 2.

3. Так продолжается, пока в левой колонке не появится 1. (Нечетные числа при делении на 2 округляем в сторону меньшего.) Если число в левой колонке нечетное, то мы его отмечаем “плюсиком”.

4. Теперь складываем отмеченные числа: 94 + 376 + 752 = 1222

Правильный ответ!

The post Египетское умножение appeared first on Приватна школа Київ | Афіни.

Случайные величины могут принимать дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные значения. Соответственно случайные величины классифицируют на дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные (смешанные). На схеме испытаний может быть определена как отдельная случайная величина (одномерная/скалярная), так и целая система одномерных взаимосвязанных случайных величин (многомерная/векторная).

• Пример смешанной случайной величины — время ожидания при переходе через автомобильную дорогу в городе на нерегулируемом перекрёстке.
• В бесконечных схемах (дискретных или непрерывных) уже изначально элементарные исходы удобно описывать количественно. Например, номера градаций типов несчастных случаев при анализе ДТП; время безотказной работы прибора при контроле качества и т. п.
• Числовые значения, описывающие результаты опытов, могут характеризовать не обязательно отдельные элементарные исходы в схеме испытаний, но и соответствовать каким-то более сложным событиям.

С одной стороны, с одной схемой испытаний и с отдельными событиями в ней одновременно может быть связано сразу несколько числовых величин, которые требуется анализировать совместно.

Поскольку значения числовых характеристик схем испытания соответствуют в схеме некоторым случайным событиям (с их определёнными вероятностями), то и сами эти значения являются случайными (с теми же вероятностями). Поэтому такие числовые характеристики и принято называть случайными величинами.

The post Случайная величина appeared first on Приватна школа Київ | Афіни.

Представьте, что у нас есть какая-то функция зависимости чего-то от чего-то.

Например, вот так примерно можно на графике представить скорость моей работы в зависимости от времени суток:

Скорость я измеряю в строках написанных мною в тетради.

Объем работы — это скорость работы умножить на время. То есть если я пишу 3 строки в минуту, то в час получается 180. Если у нас есть такой график, можно узнать, сколько работы я сделал за день: это площадь под графиком. Но как это посчитать?

Разделим график на столбики равной ширины величиной в час. А высоту этих столбиков сделаем равной скорости работы в середине этого часа.

Площадь каждого столбика по отдельности легко посчитать, надо умножить его ширину на высоту. Получается, что площадь каждого столбика — это сколько примерно я работы сделал за каждый час. А если просуммировать все столбики, то получится примерная моя работа за день.

Проблема в том, что результат получится примерный, а нам нужно точное число. Разобьем график на столбики по полчаса:

На картинке видно, что это уже гораздо ближе к тому, что мы ищем.

Так уменьшать отрезки на графике можно до бесконечности, и каждый раз мы все ближе и ближе будем подходить к площади под графиком. А когда ширина столбиков будет стремиться к нулю, тогда сумма их площадей будет стремиться к площади под графиком. Это и называется интегралом и обозначается вот так:

В этой формуле f(x) означает функцию, которая зависит от величины x, а буквы a и b — это отрезок на котором мы хотим найти интеграл.

Зачем это нужно?

Ученые стараются все физические явления выразить в виде математической формулы. Как только у нас есть формула, дальше уже можно при помощи нее посчитать что угодно. А интеграл — это один из основных инструментов работы с функциями.

Например, если у нас есть формула круга, мы можем при помощи интеграла посчитать его площадь. Если у нас есть формула шара, то мы можем посчитать его объем. При помощи интегрирования находят энергию, работу, давление, массу, электрический заряд и многие другие величины.

The post Что такое интеграл и зачем мне знать это? appeared first on Приватна школа Київ | Афіни.

Графіком цієї функції  (а – будь-яке число) і є парабола, її вершина лежить в початку координат. Побудувати її дуже просто…

Ви можете зайти на цей сайт і, ввівши будь-яку формулу, побачити графік функції.

Ніби все зрозуміло, та коли ти бачиш функцію записану так:

(1)

(2)

можна і розгубитись. Але і тут все просто!!!

Наприклад, графіком функції (1) є жорстка парабола:

,

тільки вершина її буде не в (0; 0), а в точці

,

тоді знайти легко – просто підставити.

Якщо ж парабола задана у вигляді (2), то ми жорстку параболу

здвигаємо вправо на 2 і вгору на 5.

Як це запам’ятати?

Х – незалежний; йому кажуть: «Х – вліво 2», а він каже: «Я – незележний!!! Я піду вправо на 2»
У – залежний, слухняний; йому кажуть: «У – вгору 5», і він іде вгору на 5…

* якщо записано в дужках з іксом, значить, це відноситься до Х. Все інше – до У.

От і ВСЕ…

The post Побудова квадратичної параболи appeared first on Приватна школа Київ | Афіни.

Існує багато способів її виведення, ми пропонуємо вам найпростіший, який дасть вам змогу без проблем запам’ятати і не плутати сторони.

1) Візьмемо два квадрати зі стороною 7 см та розділимо сторону на частини по 4 см і 3 см так, як це показано на мал.1 і мал.2.

2) Заштриховані площі рівні. Отже квадрат з площею 16 см² і квадрат з площею 9 см² (мал.1) дорівнюють не заштрихованому квадрату (мал.2).

3) Очевидно, що площа квадрату на малюнку 2 буде 16 + 9 = 25, а сторона буде 5 см.

Продемонструємо цю теорему на трикутнику:

с² – це найбільший квадрат, який побудований на гіпотенузі.

a² і b² – це менші площі побудовані на катетах.

Отже:  c² = a² + b²

Очевидно що: c² – a² = b²; c² – b² = a²

Такий трикутник називається “єгипетським”:

• 3 см; 4 см; 5 см
• 6 см; 8 см; 10 см;
• 30 см; 40 см; 50 см;
• 33 см; 44 см; 55 см;
• і т.д.

The post Теорема Піфагора appeared first on Приватна школа Київ | Афіни.

Всі ми добре знайомі з теоремою Вієта, як з способом вирішення зведеного квадратного рівняння. Але чи знаєте ви, що за допомогою теореми Вієта можна вирішити повне квадратне рівняння, системи рівнянь та рівняння вищих степенів? Розглянемо приклади.

Повне квадратне рівняння

Зазвичай ми вирішуємо таке рівняння за допомогою дискримінанту. Але його можна вирішити простіше: сума коренів буде така ж, як у зведеному (– b), а добуток c множиться на а.

Але тоді ми множимо корені на а:

Система рівнянь

Таку систему можна вирішити за допомогою теореми Вієта.

Нехай

Тоді

Отже маємо дві системи, об’єднані знаком диз’юнкції:

Рівняння вищих степенів

Таке рівняння вирішуємо за допомогою узагальненої теореми Вієта:

Отже, така проста теорема Вієта корисна не тільки для зведених квадратних рівнянь, а й може допомогти у розв’язуванні більш складних рівнянь та систем.

The post Теорема Вієта appeared first on Приватна школа Київ | Афіни.

Старшеклассникам пришлось вспомнить и свой английский: задания им были даны без перевода. Они выучили математические термины на английском языке.

Все ребята принимали участие и каждый мог проверить свою математическую подготовку

The post Олимпиада по AB-программе appeared first on Приватна школа Київ | Афіни.