История парадокса

Игра в кости была самой популярной азартной игрой до конца средних веков. Само слово «азарт» также относится к игре в кости, так как оно происходит от арабского слова «alzar», переводимого как «игральная кость». Карточные игры стали популярны в Европе лишь в XIV веке, в то время как игра в кости пользовалась успехом еще в Древнем Египте во времена 1-й династии и позднее в Греции, а также в Римской империи.

Самой ранней книгой по теории вероятностей является «Книга об игре в кости» («De Ludo Aleae») Джероламо Кардано (1501—1576 гг.), которая в основном посвящена игре в кости. Эта небольшая книжка была опубликована лишь в 1663 г., спустя почти 100 лет как была написана. Видимо, поэтому Галилей стал заниматься той же самой задачей о костях, хотя она была уже решена в работе Кардано. Галилей также написал трактат на эту тему где-то между 1613 и 1624 гг. Первоначально он назывался «Об открытиях, совершенных при игре в кости» («Sopra le Scoperte dei Dadi»), но в собрании сочинений Галилея, изданном в 1718 г., название изменили на следующее: «О выходе очков при игре в кости» («Consideratione sopra il Giuoco dei Dadi»).

Парадокс

Правильная игральная кость при бросании с равными шансами падает на любую из граней 1, 2, 3, 4, 5 или 6. В случае бросания двух костей сумма выпавших чисел заключена между 2 и 12. Как 9, так и 10 из чисел 1, 2, ..., 6 можно получить двумя разными способами: 9 = 3 + 6 = 4 + 5 и 10 = 4 + 6 = 5 + 5. В задаче с тремя костями и 9, и 10 получаются шестью способами. Почему тогда 9 появляется чаще, когда бросают две кости, а 10, когда бросают три?

Объяснение парадокса

Задача настолько проста, что кажется странным, что в свое время ее считали страшно трудной. И Кардано, и Галилей отмечали необходимость учета порядка выпадания чисел. (В противном случае не все исходы были бы равновозможными.) В случае двух костей 9 и 10 могут получаться следующим обра­зом: 9 = 3 + 6 = 6 + 3 = 4 + 5 = 5 + 4 и 10 = 4 + 6 = 6 + 4 = 5 + 5. Это означает, что в задаче с двумя костями 9 можно «выбросить» четырьмя способами, а 10 — лишь тремя. Следовательно, шансы получить 9 предпочтительней. Поскольку две кости дают 6 x 6 = 36 различных равновозможных пар чисел, шансы получить 9 равны 4/36, а для 10 — лишь 3/36. В случае трех костей ситуация меняется на противоположную: 9 можно «выбросить» 25 способами, а 10 — уже 26 способами. Так что 10 более вероятно, чем 9.

Источник: http://mathworld.ru/paradoks-igri-v-kosti