Дифференциальное уравнение — уравнения, которое связывает значение любой функции и значение ее производной в одной точке.

Дифференциальное уравнение состоит из неизвестной функции, ее производной и независимой переменной; однако не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением.

Например,   f`(x) = f (f (x)) не является дифференциальным уравнением. Также, дифференциальное уравнение может вообще не содержать неизвестную функцию, некоторые её производные и свободные переменные, но обязано содержать хотя бы одну из производных.

Порядок, или степень дифференциального уравнения — наибольший порядок производных, входящих в него.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y (x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные y'(x),y''(x),...,y⁽ⁿ⁾(x) до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные, в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными, в которых входящие функции зависят от многих переменных. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения, включающие случайные процессы.

        или  

Это уравнения вида, где  y=y (x) — неизвестная функция, зависящая от независимой переменной Х, штрих означает дифференцирование по Х. Число n называется порядком дифференциального уравнения.

Дифференциальные уравнения в частных производных

Это уравнения, которые содержат неизвестные функции от нескольких переменных и их частные производные. Общий вид таких уравнений можно представить в виде:

где  X1, X2, ... , Xm — независимые переменные, а  —  Z=Z (X1,X2, ... , Xm) -  функция этих переменных.

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени.

Подготовила Лилия Атамась